Αρχαίος ελληνικός γρίφος: ''τα παράδοξα του Ζήνωνος''
Ακόμα και μπροστά στο θάνατο, ο Ζήνων ο Ελεάτης ήξερε πώς να εκνευρίσει τους ανθρώπους γύρω του.
Ακόμα και όταν συνελήφθη με την κατηγορία της συνωμοσίας εναντίον του τύραννου Demylus, ο αρχαίος Έλλην φιλόσοφος αρνήθηκε να συνεργαστεί. Η ιστορία λέει ότι, αντί να μιλήσει, δάγκωσε τη γλώσσα του και την έφτυσε μπροστά του.
Ο Ζήνων πέρασε τη ζωή του εξοργίζοντας τους άλλους. Πριν από το θάνατό του, είχε την φήμη ότι έφτιαχνε εκπληκτικούς γρίφους. Έφερνε στο μυαλό του μια σειρά από φαινομενικά αντιφατικές καταστάσεις γνωστές και ως «Παράδοξα του Ζήνωνος», που έχουν εμπνεύσει αιώνες συζήτησης μεταξύ φιλοσόφων και μαθηματικών. Τώρα οι ιδέες του βοηθούν τους ερευνητές να αντιμετωπίσουν ένα πολύ πιο επικίνδυνο πρόβλημα.
Αγώνας χωρίς τέλος
Ο πιο διάσημος γρίφος του Ζήνωνος είναι «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Ο ήρωας του Τρωικού πολέμου, Αχιλλέας ετοιμάζεται για έναν μεγάλο αγώνα δρόμου με αντίπαλο μια χελώνα. Για λόγους δικαιοσύνης , ο Αχιλλέας δίνει στον χελώνα ένα προβάδισμα – ας πούμε ενός χιλιομέτρου. Όταν ξεκινάει ο αγώνας, ο Αχιλλέας φτάνει σύντομα την θέση εκκίνησης της χελώνας. Ωστόσο, στο χρόνο που του χρειάζεται για να φτάσει σε αυτό το σημείο, η χελώνα έχει κινηθεί προς τα εμπρός, ίσως στο ένα δέκατο του χιλιομέτρου. Ο Αχιλλέας καλύπτει γρήγορα αυτή την απόσταση, αλλά η χελώνα έχει κινηθεί εκ νέου.
Ο Ζήνων υποστήριξε ότι επειδή η χελώνα είναι πάντα μπροστά από την χρονική στιγμή που ο Αχιλλέας φτάνει στην προηγούμενη θέση της, ο ήρωας δεν θα την φθάσει ποτέ. Ενώ η συνολική απόσταση που πρέπει να τρέξει ο Αχιλλέας μειώνεται με το χρόνο, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός κενών που πρέπει να καλύψει:
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …
Και σύμφωνα με τον Ζήνωνα, «Είναι αδύνατο να διασχίσει έναν άπειρο αριθμό πραγμάτων σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα.»
Μόλις τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ζήνων έκανε λάθος. Καθώς η απόσταση ανάμεσα στον Αχιλλέα και την χελώνα γίνεται ολοένα και μικρότερη, ο Αχιλλέας καλύπτει το χαμένο έδαφος όλο και πιο γρήγορα. Στην πραγματικότητα, η απόσταση γίνεται τελικά απειροελάχιστη – τόσο μικρή που ο Αχιλλέας την καλύπτει στιγμιαία. Το αποτέλεσμα είναι ο Αχιλλέας να φθάνει τη χελώνα και να την προσπερνά.
Σε ποιο σημείο ο Αχιλλέας φθάνει τη χελώνα; Χάρη στο έργο των μαθηματικών του 19ου αιώνα όπως του Karl Weierstrass, υπάρχει ένας κανόνας γι ‘αυτό. Για οποιοδήποτε αριθμό n μεταξύ 0 και 1,
1 + n + n2 + n3 + … = 1 / (n – 1 )
Στο πρόβλημα του Ζήνωνος το n = 1/10, πράγμα που σημαίνει ότι ο Αχιλλέας θα φθάσει τη χελώνα μετά από 1,11 χιλιόμετρα.
Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να φαίνεται σαν μια ιστορική περιέργεια – μια έξυπνη λύση σε έναν αρχαίο γρίφο. Αλλά η ιδέα εξακολουθεί να είναι επίκαιρη. Αντί να το χρησιμοποιήσουν για να μελετήσουν τον αγώνα μεταξύ ενός δρομέα και μιας χελώνας, οι μαθηματικοί τον χρησιμοποιούν για να εργαστούν για την καταπολέμηση των ασθενειών.
Από τον Σεπτέμβριο του 2012, όταν αναφέρθηκε για πρώτη φορά το σύνδρομο αναπνοής της Μέσης Ανατολής (MERS), πάνω από 400 περιπτώσεις έχουν εμφανιστεί σε όλο τον κόσμο. Ορισμένα κρούσματα αποτελούνται από ένα μόνο πρόσωπο, που μολύνθηκε από μια εξωτερική, αλλά συχνά άγνωστη, πηγή. Σε άλλες περιπτώσεις, υπάρχει μια συστάδα μολυσμένων ατόμων που είχαν έρθει σε επαφή με άλλο μολυσμένο άτομο.
Ένας τρόπος για να μετρηθεί η μετάδοση της νόσου είναι ο αριθμό αναπαραγωγής, που συμβολίζεται ως R. Αυτός είναι ο μέσος αριθμός των δευτερευουσών περιπτώσεων που παράγεται από ένα τυπικό λοιμώδη άτομο. Εάν το R είναι μεγαλύτερο από ένα, κάθε μολυσματικό άτομο θα παράγει τουλάχιστον μία δευτερεύουσα περίπτωση και η λοίμωξη μπορεί να προκαλέσει μεγάλη επιδημία. Αν το R είναι μικρότερο από ένα, το ξέσπασμα τελικά θα μειωθεί σταδιακά.
Ακόμη και αν η λοίμωξη έχει μέχρι στιγμής αποτύχει να προκαλέσει μια επιδημία, εξακολουθεί να είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την τιμή του αριθμού αναπαραγωγής. Όσο πιο κοντά είναι ο ιός είναι σε αυτό το κρίσιμο όριο του ενός, τόσο μικρότερο είναι το εμπόδιο που πρέπει να ξεπεραστεί για την αποτελεσματική εξάπλωση του.
Χρησιμοποιώντας τον αριθμό αναπαραγωγής, μπορούμε να εκτιμήσουμε τι μπορεί να συμβεί όταν μια νέα λοίμωξη εισέρχεται στον ανθρώπινο πληθυσμό. Κατά μέσο όρο, η αρχική υπόθεση θα δημιουργήσει R δευτερεύουσες περιπτώσεις. Αυτές οι λοιμώξεις R, θα δημιουργήσουν περισσότερες R, πράγμα που σημαίνει R2 νέες περιπτώσεις, και ούτω καθεξής.
Αν το R είναι λιγότερο από ένα, αυτό θα δημιουργήσει ένα πρότυπο ακριβώς όπως την περίπτωση του Αχιλλέα με τη χελώνα. Έτσι, αν γνωρίζουμε την τιμή του αριθμού αναπαραγωγής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τύπο για να υπολογίσουμε πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα ξέσπασμα επιδημίας κατά μέσο όρο :
Μέσο μέγεθος εστίας = 1 + R + R2 + R3 + … = 1 / ( 1 -R )
Το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τον αριθμό αναπαραγωγής για το MERS. Ευτυχώς, ξέρουμε πόσες περιπτώσεις έχουν αναφερθεί σε κάθε εστία. Που σημαίνει ότι για να υπολογιστεί ο αριθμός αναπαραγωγής (υποθέτοντας ότι είναι κάτω από 1), εμείς απλά θα πρέπει να αντιστρέψουμε την εξίσωση:
R = 1 – 1 / ( μέσο μέγεθος )
Κατά το πρώτο έτος των αναφερόμενων περιπτώσεων MERS, τα συμπλέγματα της νόσου κυμαίνονται από μία μόνο περίπτωση σε μια ομάδα μεγαλύτερη των 20 ατόμων, με μέσο μέγεθος εστίας 2,7 περιπτώσεις. Σύμφωνα με τον παραπάνω υπολογισμό, ο αριθμός αναπαραγωγής θα μπορούσε, επομένως, να ήταν περίπου στο 0,6.
Αντίθετα, υπήρχαν μόνο δύο αναφερόμενες περιπτώσεις κρουσμάτων στη Σαγκάη κατά τη διάρκεια καταγραφής των εστιών της γρίπης των πτηνών H7N9 , την άνοιξη του 2013. Το μέσο μέγεθος της εστίας ήταν ως εκ τούτου 1,1 περιπτώσεις, το οποίο δίνει μια εκτίμηση του αριθμού αναπαραγωγής στο 0,1 – πολύ μικρότερο από εκείνο του MERS.
Αν και οι τεχνικές αυτές παρέχουν μόνο πρόχειρες εκτιμήσεις, δίνει στους ερευνητές έναν τρόπο για να αξιολογήσουν τον κίνδυνο της νόσου χωρίς λεπτομερείς βάσεις δεδομένων. Οι μέθοδοι αυτοί είναι ιδιαίτερα πολύτιμοι κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας. Από τη γρίπη των πτηνών μέχρι το MERS, οι πληροφορίες είναι πολύτιμες όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με λοιμώξεις που, όπως ο Ζήνων, δεν δίνουν εύκολα τα μυστικά τους.
Ακόμα και όταν συνελήφθη με την κατηγορία της συνωμοσίας εναντίον του τύραννου Demylus, ο αρχαίος Έλλην φιλόσοφος αρνήθηκε να συνεργαστεί. Η ιστορία λέει ότι, αντί να μιλήσει, δάγκωσε τη γλώσσα του και την έφτυσε μπροστά του.
Ο Ζήνων πέρασε τη ζωή του εξοργίζοντας τους άλλους. Πριν από το θάνατό του, είχε την φήμη ότι έφτιαχνε εκπληκτικούς γρίφους. Έφερνε στο μυαλό του μια σειρά από φαινομενικά αντιφατικές καταστάσεις γνωστές και ως «Παράδοξα του Ζήνωνος», που έχουν εμπνεύσει αιώνες συζήτησης μεταξύ φιλοσόφων και μαθηματικών. Τώρα οι ιδέες του βοηθούν τους ερευνητές να αντιμετωπίσουν ένα πολύ πιο επικίνδυνο πρόβλημα.
Αγώνας χωρίς τέλος
Ο πιο διάσημος γρίφος του Ζήνωνος είναι «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Ο ήρωας του Τρωικού πολέμου, Αχιλλέας ετοιμάζεται για έναν μεγάλο αγώνα δρόμου με αντίπαλο μια χελώνα. Για λόγους δικαιοσύνης , ο Αχιλλέας δίνει στον χελώνα ένα προβάδισμα – ας πούμε ενός χιλιομέτρου. Όταν ξεκινάει ο αγώνας, ο Αχιλλέας φτάνει σύντομα την θέση εκκίνησης της χελώνας. Ωστόσο, στο χρόνο που του χρειάζεται για να φτάσει σε αυτό το σημείο, η χελώνα έχει κινηθεί προς τα εμπρός, ίσως στο ένα δέκατο του χιλιομέτρου. Ο Αχιλλέας καλύπτει γρήγορα αυτή την απόσταση, αλλά η χελώνα έχει κινηθεί εκ νέου.
Ο Ζήνων υποστήριξε ότι επειδή η χελώνα είναι πάντα μπροστά από την χρονική στιγμή που ο Αχιλλέας φτάνει στην προηγούμενη θέση της, ο ήρωας δεν θα την φθάσει ποτέ. Ενώ η συνολική απόσταση που πρέπει να τρέξει ο Αχιλλέας μειώνεται με το χρόνο, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός κενών που πρέπει να καλύψει:
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …
Και σύμφωνα με τον Ζήνωνα, «Είναι αδύνατο να διασχίσει έναν άπειρο αριθμό πραγμάτων σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα.»
Μόλις τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ζήνων έκανε λάθος. Καθώς η απόσταση ανάμεσα στον Αχιλλέα και την χελώνα γίνεται ολοένα και μικρότερη, ο Αχιλλέας καλύπτει το χαμένο έδαφος όλο και πιο γρήγορα. Στην πραγματικότητα, η απόσταση γίνεται τελικά απειροελάχιστη – τόσο μικρή που ο Αχιλλέας την καλύπτει στιγμιαία. Το αποτέλεσμα είναι ο Αχιλλέας να φθάνει τη χελώνα και να την προσπερνά.
Σε ποιο σημείο ο Αχιλλέας φθάνει τη χελώνα; Χάρη στο έργο των μαθηματικών του 19ου αιώνα όπως του Karl Weierstrass, υπάρχει ένας κανόνας γι ‘αυτό. Για οποιοδήποτε αριθμό n μεταξύ 0 και 1,
1 + n + n2 + n3 + … = 1 / (n – 1 )
Στο πρόβλημα του Ζήνωνος το n = 1/10, πράγμα που σημαίνει ότι ο Αχιλλέας θα φθάσει τη χελώνα μετά από 1,11 χιλιόμετρα.
Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να φαίνεται σαν μια ιστορική περιέργεια – μια έξυπνη λύση σε έναν αρχαίο γρίφο. Αλλά η ιδέα εξακολουθεί να είναι επίκαιρη. Αντί να το χρησιμοποιήσουν για να μελετήσουν τον αγώνα μεταξύ ενός δρομέα και μιας χελώνας, οι μαθηματικοί τον χρησιμοποιούν για να εργαστούν για την καταπολέμηση των ασθενειών.
Από τον Σεπτέμβριο του 2012, όταν αναφέρθηκε για πρώτη φορά το σύνδρομο αναπνοής της Μέσης Ανατολής (MERS), πάνω από 400 περιπτώσεις έχουν εμφανιστεί σε όλο τον κόσμο. Ορισμένα κρούσματα αποτελούνται από ένα μόνο πρόσωπο, που μολύνθηκε από μια εξωτερική, αλλά συχνά άγνωστη, πηγή. Σε άλλες περιπτώσεις, υπάρχει μια συστάδα μολυσμένων ατόμων που είχαν έρθει σε επαφή με άλλο μολυσμένο άτομο.
Ένας τρόπος για να μετρηθεί η μετάδοση της νόσου είναι ο αριθμό αναπαραγωγής, που συμβολίζεται ως R. Αυτός είναι ο μέσος αριθμός των δευτερευουσών περιπτώσεων που παράγεται από ένα τυπικό λοιμώδη άτομο. Εάν το R είναι μεγαλύτερο από ένα, κάθε μολυσματικό άτομο θα παράγει τουλάχιστον μία δευτερεύουσα περίπτωση και η λοίμωξη μπορεί να προκαλέσει μεγάλη επιδημία. Αν το R είναι μικρότερο από ένα, το ξέσπασμα τελικά θα μειωθεί σταδιακά.
Ακόμη και αν η λοίμωξη έχει μέχρι στιγμής αποτύχει να προκαλέσει μια επιδημία, εξακολουθεί να είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την τιμή του αριθμού αναπαραγωγής. Όσο πιο κοντά είναι ο ιός είναι σε αυτό το κρίσιμο όριο του ενός, τόσο μικρότερο είναι το εμπόδιο που πρέπει να ξεπεραστεί για την αποτελεσματική εξάπλωση του.
Χρησιμοποιώντας τον αριθμό αναπαραγωγής, μπορούμε να εκτιμήσουμε τι μπορεί να συμβεί όταν μια νέα λοίμωξη εισέρχεται στον ανθρώπινο πληθυσμό. Κατά μέσο όρο, η αρχική υπόθεση θα δημιουργήσει R δευτερεύουσες περιπτώσεις. Αυτές οι λοιμώξεις R, θα δημιουργήσουν περισσότερες R, πράγμα που σημαίνει R2 νέες περιπτώσεις, και ούτω καθεξής.
Αν το R είναι λιγότερο από ένα, αυτό θα δημιουργήσει ένα πρότυπο ακριβώς όπως την περίπτωση του Αχιλλέα με τη χελώνα. Έτσι, αν γνωρίζουμε την τιμή του αριθμού αναπαραγωγής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τύπο για να υπολογίσουμε πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα ξέσπασμα επιδημίας κατά μέσο όρο :
Μέσο μέγεθος εστίας = 1 + R + R2 + R3 + … = 1 / ( 1 -R )
Το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τον αριθμό αναπαραγωγής για το MERS. Ευτυχώς, ξέρουμε πόσες περιπτώσεις έχουν αναφερθεί σε κάθε εστία. Που σημαίνει ότι για να υπολογιστεί ο αριθμός αναπαραγωγής (υποθέτοντας ότι είναι κάτω από 1), εμείς απλά θα πρέπει να αντιστρέψουμε την εξίσωση:
R = 1 – 1 / ( μέσο μέγεθος )
Κατά το πρώτο έτος των αναφερόμενων περιπτώσεων MERS, τα συμπλέγματα της νόσου κυμαίνονται από μία μόνο περίπτωση σε μια ομάδα μεγαλύτερη των 20 ατόμων, με μέσο μέγεθος εστίας 2,7 περιπτώσεις. Σύμφωνα με τον παραπάνω υπολογισμό, ο αριθμός αναπαραγωγής θα μπορούσε, επομένως, να ήταν περίπου στο 0,6.
Αντίθετα, υπήρχαν μόνο δύο αναφερόμενες περιπτώσεις κρουσμάτων στη Σαγκάη κατά τη διάρκεια καταγραφής των εστιών της γρίπης των πτηνών H7N9 , την άνοιξη του 2013. Το μέσο μέγεθος της εστίας ήταν ως εκ τούτου 1,1 περιπτώσεις, το οποίο δίνει μια εκτίμηση του αριθμού αναπαραγωγής στο 0,1 – πολύ μικρότερο από εκείνο του MERS.
Αν και οι τεχνικές αυτές παρέχουν μόνο πρόχειρες εκτιμήσεις, δίνει στους ερευνητές έναν τρόπο για να αξιολογήσουν τον κίνδυνο της νόσου χωρίς λεπτομερείς βάσεις δεδομένων. Οι μέθοδοι αυτοί είναι ιδιαίτερα πολύτιμοι κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας. Από τη γρίπη των πτηνών μέχρι το MERS, οι πληροφορίες είναι πολύτιμες όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με λοιμώξεις που, όπως ο Ζήνων, δεν δίνουν εύκολα τα μυστικά τους.
